Phân tích fourier là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan

Phân tích Fourier là phương pháp toán học dùng để biểu diễn tín hiệu bất kỳ thành tổng các sóng sin và cosin, từ đó chuyển đổi giữa miền thời gian và tần số. Kỹ thuật này cho phép xác định cấu trúc tần số của tín hiệu, ứng dụng rộng rãi trong xử lý âm thanh, ảnh, y sinh và truyền thông kỹ thuật số.

Định nghĩa phân tích Fourier

Phân tích Fourier là phương pháp toán học dùng để phân rã một hàm hoặc tín hiệu phức tạp thành các thành phần cơ bản là các hàm sóng hình sin và cosin. Đây là công cụ quan trọng trong toán học ứng dụng và kỹ thuật, đặc biệt trong xử lý tín hiệu số, điện tử, âm học, cơ học và thị giác máy tính.

Mọi hàm thời gian liên tục có điều kiện phù hợp đều có thể được biểu diễn bằng tổng vô hạn của các hàm điều hòa. Tổng này gọi là chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn hoặc biến đổi Fourier đối với hàm không tuần hoàn. Công thức tổng quát:

f(t)=n=cnei2πntf(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i 2\pi n t} trong đó cnc_n là hệ số Fourier, biểu diễn độ mạnh của tần số nn trong tín hiệu.

Lịch sử và sự phát triển

Phương pháp này được Jean-Baptiste Joseph Fourier phát triển đầu thế kỷ 19 khi nghiên cứu phương trình truyền nhiệt. Ý tưởng của ông rằng mọi hàm có thể biểu diễn bằng tổng các sóng sin ban đầu gặp sự hoài nghi, nhưng dần được chứng minh và mở rộng trong lý thuyết phân tích hàm hiện đại.

Sau này, các nhà toán học như Dirichlet, Riemann, và Lebesgue đã phát triển lý thuyết tích phân và điều kiện hội tụ cho chuỗi Fourier. Đến thế kỷ 20, biến đổi Fourier rời rạc và biến đổi Fourier nhanh (FFT) trở thành công cụ không thể thiếu trong kỹ thuật và công nghiệp hiện đại.

  • 1807: Fourier trình bày lý thuyết tại Viện Hàn lâm Paris
  • 1822: xuất bản tác phẩm "Théorie analytique de la chaleur"
  • 1965: Cooley và Tukey phát minh thuật toán FFT

Nguyên lý toán học cơ bản

Nguyên lý cốt lõi của phân tích Fourier là bất kỳ hàm khả tích trên một đoạn đều có thể biểu diễn như tổng của các sóng điều hòa cơ bản. Những sóng này đóng vai trò như hệ cơ sở trực giao trong không gian hàm, tương tự như cách các vector cơ sở biểu diễn không gian Euclide.

Có hai dạng chính:

  • Chuỗi Fourier: áp dụng cho hàm tuần hoàn
  • Biến đổi Fourier liên tục: áp dụng cho hàm không tuần hoàn

Biến đổi Fourier liên tục:

f^(ξ)=f(t)ei2πξtdt\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i 2\pi \xi t} dt

Công thức nghịch đảo cho phép khôi phục tín hiệu từ miền tần số:

f(t)=f^(ξ)ei2πξtdξf(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{i 2\pi \xi t} d\xi

Chuỗi Fourier và biến đổi Fourier

Chuỗi Fourier là biểu diễn một hàm tuần hoàn có chu kỳ T bằng tổng vô hạn các hàm sin và cos với tần số là bội số nguyên của 1T\frac{1}{T}. Dạng tổng quát:

f(t)=a0+n=1[ancos(2πntT)+bnsin(2πntT)]f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[a_n \cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right)\right]

Khi tín hiệu không tuần hoàn, ta sử dụng biến đổi Fourier để chuyển hàm từ miền thời gian sang miền tần số. Điều này cho phép phân tích phổ tần của tín hiệu và thực hiện các phép lọc, nén và truyền thông tin.

Bảng so sánh nhanh:

Đặc điểm Chuỗi Fourier Biến đổi Fourier
Loại tín hiệu Tuần hoàn Không tuần hoàn
Kết quả Tập rời rạc các hệ số Hàm liên tục miền tần số
Ứng dụng Điện xoay chiều, dao động điều hòa Xử lý tín hiệu số, ảnh y khoa, âm thanh

Ứng dụng trong xử lý tín hiệu

Phân tích Fourier là công cụ trung tâm trong lĩnh vực xử lý tín hiệu. Việc chuyển đổi một tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số giúp chúng ta hiểu được cấu trúc của tín hiệu, loại bỏ nhiễu, thiết kế bộ lọc, phân tích giọng nói và tái tạo âm thanh.

Trong xử lý âm thanh, ví dụ, tín hiệu giọng nói được chia thành các đoạn ngắn, mỗi đoạn được phân tích bằng FFT để trích xuất đặc trưng tần số. Điều này được áp dụng trong các công nghệ như nén âm thanh (MP3, AAC), nhận dạng giọng nói và tổng hợp giọng nói nhân tạo.

Trong xử lý ảnh, phân tích Fourier được sử dụng để loại bỏ nhiễu cao tần hoặc tăng cường biên ảnh bằng cách thao tác phổ tần số của ảnh gốc. Một bức ảnh mờ có thể được xử lý bằng cách khôi phục các thành phần tần số cao bị mất.

Biến đổi Fourier nhanh (FFT)

Biến đổi Fourier nhanh (FFT – Fast Fourier Transform) là thuật toán giúp tính biến đổi Fourier rời rạc (DFT) một cách hiệu quả. Nếu DFT có độ phức tạp O(n2)O(n^2) thì FFT giảm xuống chỉ còn O(nlogn)O(n \log n), cho phép xử lý tín hiệu lớn trong thời gian thực.

Thuật toán Cooley-Tukey là phiên bản phổ biến nhất, yêu cầu độ dài tín hiệu là lũy thừa của 2. FFT hiện diện trong mọi hệ thống số hiện đại – từ điện thoại, máy ảnh, máy quét MRI đến radar và vệ tinh.

Ví dụ mã giả đơn giản cho FFT radix-2:

  • Chia dãy đầu vào thành 2 phần: phần chẵn và phần lẻ
  • Tính FFT cho mỗi phần
  • Kết hợp hai phần bằng công thức hồi tiếp

FFT cũng được tối ưu bằng phần cứng và phần mềm chuyên biệt trong hệ thống DSP, giúp xử lý tín hiệu video hoặc âm thanh trực tuyến với độ trễ rất thấp.

Biến thể và khái quát hóa

Có nhiều biến thể của phân tích Fourier để thích nghi với đặc thù tín hiệu thực tế. Một số kỹ thuật mở rộng bao gồm:

  • STFT (Short-Time Fourier Transform): dùng cửa sổ trượt để phân tích tín hiệu theo thời gian – tần số
  • DFT và IDFT: dạng rời rạc và nghịch đảo, cơ sở cho hầu hết phần mềm số
  • Wavelet Transform: thay các sóng sin/cos bằng hàm wavelet để phân tích phi tuyến

Phân tích wavelet có thể xem là một phiên bản tổng quát của phân tích Fourier, giúp mô tả tốt hơn các tín hiệu có thay đổi cục bộ mạnh hoặc có biên rõ ràng.

Ưu điểm và hạn chế

Ưu điểm chính của phân tích Fourier là khả năng phân tích tín hiệu phức tạp dưới dạng tổ hợp tuyến tính các tần số đơn giản. Điều này làm cho nó trực quan trong thiết kế bộ lọc, khử nhiễu, và xác định đặc trưng phổ của dữ liệu.

Tuy nhiên, hạn chế lớn nhất là Fourier không cung cấp thông tin về thời gian xảy ra của các tần số (trừ khi dùng STFT). Tín hiệu có biến đổi nhanh hoặc không tuần hoàn thường không phù hợp với Fourier cổ điển. Do đó, wavelet hoặc biến đổi Gabor được dùng thay thế khi phân giải thời gian là cần thiết.

Ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật

Ứng dụng của phân tích Fourier rất đa dạng, trải dài từ khoa học cơ bản đến các công nghệ tiên tiến:

  • Trong điện tử: thiết kế mạch lọc số, phân tích phổ nhiễu, điều chế tín hiệu
  • Trong y sinh: xử lý ảnh MRI, phân tích điện não đồ (EEG), tim đồ (ECG)
  • Trong truyền thông: mã hóa tín hiệu, điều chế OFDM, radar và sonar
  • Trong khoa học dữ liệu: giảm nhiễu dữ liệu, trích xuất đặc trưng phổ

Trong kỹ thuật dân dụng, biến đổi Fourier được dùng trong đo rung kết cấu, xác định tần số cộng hưởng trong xây dựng và giao thông. Trong thiên văn học, nó hỗ trợ xử lý ảnh viễn vọng, lọc nhiễu sóng vũ trụ.

Tài liệu tham khảo

  1. MathWorks – Fourier Transforms
  2. IEEE – Cooley & Tukey FFT Algorithm
  3. NIST – Fourier Analysis Overview
  4. ScienceDirect – FFT in Biomedical Signal Processing
  5. Frontiers in Neuroscience – Fourier & Brain Signal Analysis

Các bài báo, nghiên cứu, công bố khoa học về chủ đề phân tích fourier:

Ứng dụng phân tích Fourier vào khả năng nhìn thấy các mẫu vạch Dịch bởi AI
Journal of Physiology - Tập 197 Số 3 - Trang 551-566 - 1968
1. Ngưỡng tương phản của nhiều mẫu vạch khác nhau đã được đo lường trên một dải tần số không gian rộng.2. Ngưỡng tương phản cho việc phát hiện các vạch có hồ sơ độ sáng là sóng sin, sóng vuông, sóng hình chữ nhật hoặc sóng hình răng cưa có thể được liên hệ đơn giản bằng cách sử dụng lý thuyết Fourier.3. Trong một dải tần số không gian rộng, ngưỡng tương ph...... hiện toàn bộ
Phân tích phổ chéo Fourier trong phân loại nhịp nhanh thất kéo dài và tự hồi phục trong thí nghiệm với tim chuột cô lập
Tạp chí Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ quân sự - Tập 87 - Trang 85-93 - 2023
Sự tương tác giữa tâm thất và tâm nhĩ trong hoạt động tim là một yếu tố rất quan trọng của chức năng tim. Trong các rối loạn nhịp thất, chẳng hạn như nhịp nhanh thất và rối loạn tâm thất, chu kỳ nhịp tâm nhĩ xuất hiện khác với nhịp xoang bình thường, mặc dù không có kết nối điện trực tiếp giữa tâm thất tới tâm nhĩ. Để hiểu hiện tượng này, phân tích Fourier cặp dữ liệu đo đồng thời được thực hiện ...... hiện toàn bộ
#Ventricular tachycardia; Arrhythmia; Bivariate time-series; Mechano-electrical coupling.
Xác định tính thấm khí trong đất ven biển được cải tạo dựa trên sự biến động thủy triều Dịch bởi AI
Springer Science and Business Media LLC - Tập 66 - Trang 1259-1268 - 2011
Việc cải tạo đất ven biển là một thực hành phổ biến ở nhiều vùng trên thế giới. Một khu đất ven biển đã được cải tạo thường có hệ thống hai lớp: một lớp có độ thấm cao bao gồm các mảnh đá nghiền nát nằm bên dưới một lớp có độ thấm thấp hơn. Nghiên cứu này đề cập đến dòng khí thẳng đứng trong một khu đất ven biển đã được cải tạo, được kích thích bởi sự biến động chu kỳ của mức nước ngầm do biến độn...... hiện toàn bộ
#Đất ven biển #cải tạo đất #tính thấm khí #biến động thủy triều #phân tích Fourier
Tổng hợp và đặc trưng của nhũ tương cellulose gốc carboxylate trên cơ sở cellulose acetate Dịch bởi AI
Springer Science and Business Media LLC - Tập 24 - Trang 2049-2057 - 2017
Với cellulose acetate (CA) làm nguyên liệu chính, một nhũ tương cellulose acetate gốc carboxylate (CWCA) thân thiện với môi trường đã được tổng hợp thông qua phương pháp tự nhũ hóa. Tận dụng axit acrylic, hydroxyethyl acrylate làm chất điều chỉnh, và isophorone diisocyanate làm tác nhân cầu nối, thiết kế cấu trúc phân tử của phân tán CWCA đã được hoàn thành thành công, và cấu trúc được xác nhận bằ...... hiện toàn bộ
#nhũ tương cellulose acetate #cellulose gốc carboxylate #phương pháp tự nhũ hóa #phân tích phổ hồng ngoại Fourier #vi cấu trúc nút-core
TL thăm dò thường có thiết kế đối xứng trục và được phóng thẳng đứng phục vụ nghiên cứu, thu thập dữ liệu khí quyển tầng cao. Các sai số trong quá trình chế tạo gây ra sự bất đối xứng khiến quỹ đạo TL bị tản mát không mong muốn. Để khắc phục vấn đề này, TL thăm dò thường được thiết kế quay quanh trục nhằm trung bình hóa các sai số do chế tạo gây ra. Tuy nhiên, chuyển động quay quanh trục có khả năng cộng hưởng với dao động chúc ngóc chu kỳ ngắn tạo ra các quá tải cạnh lớn gây phá hủy kết cấu TL. Bài báo tập trung vào việc phân tích sự thay đổi của tần số dao động chúc ngóc nhằm đưa ra dự đoán hiện tượng cộng hưởng đối với TL thăm dò. Trong nghiên cứu này, các tác giả đã xây dựng mô hình động lực học 6 bậc tự do cho TL thăm dò tính đến đầy đủ các vấn đề khí động lực học, sự thay đổi các đặc tính quán tính khi bay. Để xác định tần số chúc ngóc xung lực được tạo ra và tác động lên TL gây ra dao động chu kỳ ngắn. Phép biến đổi Fourier được sử dụng để phân tích và xác định tần số dao động của TL. Kết quả cho thấy sự tương đồng với mô hinh lý thuyết, qua đó độ tin cậy của phương pháp được khẳng định. Kết quả của nghiên cứu này giúp đưa ra những khuyến cáo trong quá trình thiết kế, chế tạo TL thăm dò nhằm mục đích hạn chế các tác động tiêu cực gây ra bởi sự cộng hưởng giữa các kênh chuyển động trong quá trình bay.
Tạp chí Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ quân sự - Tập 98 - Trang 146-154 - 2024
TL thăm dò thường có thiết kế đối xứng trục và được phóng thẳng đứng phục vụ nghiên cứu, thu thập dữ liệu khí quyển tầng cao. Các sai số trong quá trình chế tạo gây ra sự bất đối xứng khiến quỹ đạo TL bị tản mát không mong muốn. Để khắc phục vấn đề này, TL thăm dò thường được thiết kế quay quanh trục nhằm trung bình hóa các sai số do chế tạo gây ra. Tuy nhiên, chuyển động quay quanh trục có khả nă...... hiện toàn bộ
#Sounding rocket; Resonance; Short-period oscillations; Fourier transform.
Phát hiện bao gồm sử dụng tín hiệu phân tích tổng quát trong miền QLCT 2D Dịch bởi AI
Multidimensional Systems and Signal Processing - Tập 28 - Trang 1343-1366 - 2016
Tín hiệu phân tích 2D siêu phức đã được đề xuất bởi một số tác giả với các ứng dụng trong xử lý hình ảnh màu. Tín hiệu phân tích cho phép trích xuất các đặc trưng địa phương từ hình ảnh. Nó có thuộc tính cơ bản là phân tách bản thể, nghĩa là nó phân tách thông tin định tính và định lượng của một hình ảnh dưới dạng pha địa phương và biên độ địa phương. Việc mở rộng tín hiệu phân tích của miền biến ...... hiện toàn bộ
#tín hiệu phân tích #biến đổi Fourier quaternion #phát hiện bao gồm #miền QLCT #xử lý hình ảnh màu
Phân tích Fourier rời rạc với mạng trên các miền phẳng Dịch bởi AI
Numerical Algorithms - Tập 55 - Trang 279-300 - 2010
Gần đây, các tác giả đã phát triển một phân tích Fourier rời rạc liên quan đến các mạng dịch. Nó cho phép hai mạng, một mạng xác định miền nguyên và một mạng xác định họ các hàm mũ. Các lựa chọn mạng có thể được thảo luận trong trường hợp các mạng trải đều trên ${{\mathbb R}}^2$ và một số kết quả mới về tích phân và nội suy bằng đa thức lượng giác cũng như đa thức đại số đã được thu được.
#phân tích Fourier #mạng dịch #miền phẳng #đa thức lượng giác #nội suy
Nứt xoắn Rashba và cộng hưởng cyclotron trong các cấu trúc dị thể InGaAs/InP bị căng với khí điện tử hai chiều Dịch bởi AI
Semiconductors - Tập 47 - Trang 1485-1491 - 2013
Nghiên cứu thực nghiệm về cộng hưởng cyclotron và chuyên chở từ tính trong các cấu trúc dị thể InP/InGaAs/InP với giếng lượng tử đối xứng trục được thực hiện ở nhiệt độ 4.2 K. Kết quả cho thấy khối lượng cyclotron ở mức Fermi tăng từ 0.047m₀ lên 0.057m₀ khi nồng độ điện tử hai chiều tăng từ 5.5 × 10¹¹ đến 2.1 × 10¹² cm⁻³. Các giá trị của nứt xoắn Rashba tại mức Fermi được xác định thông qua phân t...... hiện toàn bộ
#nứt xoắn Rashba #cộng hưởng cyclotron #cấu trúc dị thể #điện tử hai chiều #phân tích Fourier #dao động Shubnikov-de Haas #Hamiltonian k · p
Mô hình trong Hệ Thống Số Cơ Sở Hệ Số Tỷ Dịch bởi AI
Springer Science and Business Media LLC - Tập 19 - Trang 225-250 - 2012
Các hệ thống số với cơ sở là một số hữu tỷ a/b>1 đã thu hút được sự quan tâm trong những năm gần đây. Đặc biệt, mối quan hệ với vấn đề Mahler’s $\frac{3}{2}$ và vấn đề Josephus đã được thiết lập. Trong bài báo này, chúng tôi chỉ ra rằng các mẫu chữ số trong các biểu diễn của các số nguyên dương trong các hệ thống số như vậy được phân bố đồng đều. Chúng tôi nghiên cứu hàm tổng chữ số của các hệ thố...... hiện toàn bộ
#hệ thống số #cơ sở hữu tỷ #phân phối chữ số #hàm tổng chữ số #ngữ pháp tự do #số chuẩn #phân tích Fourier
Định lý Jordan mở rộng và mối quan hệ giữa biến đổi Laplace và biến đổi Fourier Dịch bởi AI
Springer Science and Business Media LLC - - 1997
Định lý Jordan có thể được sử dụng cho một phạm vi rộng hơn so với định dạng ban đầu. Định lý Jordan mở rộng có thể được mô tả như sau. Gọi f(z) là hàm phân tích trong nửa trên của mặt phẳng z (Imz ≥ 0), với ngoại lệ là một số hữu hạn các điểm kỳ dị tách rời. Đối với p > 0, nếu $$\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \l...... hiện toàn bộ
#Định lý Jordan #biến đổi Laplace #biến đổi Fourier #phân tích hàm
Tổng số: 31   
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4